이제 fermion 들로 이루어진 기체, Fermi gas 를 다루어보자. 이들은 파울리 배타 원리에 의해 한 양자역학 상태에 입자 하나 밖에 들어가지 못하는 성질을 가졌다. 금속 내부에 존재하는 전자들을 Fermi 기체로 취급함으로써 많은 것을 설명할 수 있다. 전자 사이의 쿨롱 힘이 존재하는 상황에서 이것은 의외로 느껴지겠지만, 주변에 얼마나 많은 전자들이 존재하는 상황인지를 고려하기만 한다면, 그 상황에서의 "평균적인 전자"들은 마치 기체 입자들처럼 상호작용이 거의 없는 것처럼 다룰 수 있다.
18. Boson Gas
열파장 𝜆=ℎ/√(2𝜋𝑚𝑘𝐵 𝑇) 는 온도가 낮아지면 증가한다. 열파장이 입자 간의 평균 간격에 접근하기 시작하면 양자역학적인 효과가 나타나기 시작한다. 앞에서 Gibbs paradox 를 어떻게 해소하였는지 상기하여보자. 위상공간의 체적소 내에 존재하는 구분 가능한 미시 상태의 개수를 구하는 과정에서 우리는 입자들을 임의로 교환하더라도 그들이 모두 identical particle 이기 때문에 구분 가능하지 않다는 점에 입각하여, 미시 상태의 개수가 1/𝑁! 배 되어야 한다고 생각하였다.
16. Gibbs Paradox
양자역학의 도입으로 비로소 흑체복사 문제가 해결되었다. 그러나 아직도 미묘한 문제가 남아 있다. 그것은 깁스 파라독스(Gibbs paradox)이다.
15. Grand Canonical Ensemble(I)
microcanonical ensemble 에서 canonical ensemble 로 넘어갔던 이유는 microcanonical ensemble 이 요구하는 조건, 즉, 𝐸 = 𝐸0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 이 너무 엄격하기 때문에, 실제 계산에 많은 제약이 있었기 때문이었다.
14. Helmholtz Free Energy, Gibbs Free Energy, Chemical Potential
1. Helmholtz Free Energy
Helmholtz free energy 𝐹 = 𝐸 − 𝑇𝑆 와 같이 정의되었으며, 이는 우리가 생각하는 계의 변수 𝑆 를 𝑇 로 대치하는 것이었다. 수학적으로 이와 같은 변환을 Legendre transformation 이라고 한다.
13. 흑체복사(Blackbody Radiation)
물질은 전하들로 이루어져 있다. 열운동하는 물체 속에서 전하들은 서로 작용하면서 가속 운동을 하게 되는데, 이는 전자기파의 복사로 이어진다. 이를 열복사(thermal radiation)이라고 한다. 우주 배경 복사나 동물의 몸에서 나오는 적외선은 이러한 열복사의 예이다.
보충자료4. 응집물질의 진동(III)
많은 경우에 우리는 탄성파의 세부 정보를 필요로 하지 않는다. 마치 우리가 이상기체를 다룰 때, 이상기체 분자의 위치와 운동량을 필요로 하지 않았던 것과 같다. 우리가 필요한 normal mode 의 정보는 바로 그 진동 주파수 ω들이다.
보충자료2. 응집물질의 진동 (I)
3차원에서 이산화탄소 분자와 물 분자의 진동을 생각해보기로 하자. 이산화탄소는 일직선 상에 탄소원자를 중심으로 산소 원자 2 개가 자리하고 있다. 물 분자는 산소 원자를 중심으로 2 개의 수소 원자가 약 104.5 도의 각도를 이루고 있다.
12E. [예제] Two-level System
단 2 개의 미시 상태가 허용되는 계를 생각하여 보자. 실제로 Maser 에서 암모니아 분자의 행동을 이와 같이 기술할 수 있다.(Feynman Lectures on Physics Vol.3 Chapter 9) 계의 어떤 에너지 준위가 섭동항으로 인해 2 개로 갈라진 상태라면, 다른 에너지 준위들과 많이 떨어져 있다고 다룰 수 있는 경우에 좋은 근사가 된다.
12D. [예제] 양자역학적 단진자
앞절 10B 에서 고전역학적 단진자계가 갖는 문제점에 대하여 언급하였다. 이 문제는 플랑크(Planck)가 양자 가설을 도입하여 해결하였다. 이는 양자역학의 체계를 세우는데 기초가 된다.
12C. [예제] 고전역학적 단진자
고체의 경우, 원자들은 결정(crystal)의 격자 내에 고정된 위치에서 작은 크기의 진동을 한다. 원자의 개수를 N 이라 하면, 3N 개의 좌표가 존재하는데 이들을 적절히 선형조합하면 3N 개의 (거의) 독립적인 단진자로 변환할 수 있다. 이 과정을 normal mode 분석이라고 한다.
12A. 작은 바른틀 앙상블과 바른틀 앙상블의 비교
작은 바른틀 앙상블을 사용하여 얻은 결과와 바른틀 앙상블을 사용하여 얻은 결과는 같아야 한다. 이 두 방법의 차이는 기본적으로 어떤 열역학적 변수를 선택하여 계를 기술할 것인가의 문제에 불과하기 때문이다.
12. 바른틀 앙상블(canonical ensemble)
어떤 미시계가 열저수지(heat reservoir)와 열접촉하고 있는 상황을 생각해보자. 열저수지는 매우 커서 아무리 열 교환을 하더라도 온도 T를 일정하게 유지할 수 있다고 가정하자. 이러한 열저수지를 반드시 외부의 계라고 생각할 필요는 없다. 예를 들어, 단진자계에서 한 주파수의 단진자를 계로 생각하고 나머지를 열저수지로 생각할 수도 있다.
11. 작은 바른틀 앙상블(microcanonical ensemble)
앞에서 통계역학의 기본 전제를 다루면서, 많은 자유도를 가진 계의 동력학이 원칙적으로는 뉴튼 방정식에 의해 기술되지만, 현실적으로는 우리에게 접근 가능하지 않다고 이야기하였다. 외부와 단절된 계가 평형 상태에 존재할 때 통계적인 방법을 도입할 수 있으며, 이때 계의 거시적 조건에 부합되는 모든 미시 상태들은 실제로 일어날 확률이 같다고 가정하였다. 이처럼 외부와 단절된 계에서 거시계에 허용되는 모든 미시상태를 모아놓은 집합을 작은 바른틀 앙상블(microcanonical ensemble)이라고 한다.
10B. [예제] 단진자계
이상기체계에서 입자의 퍼텐셜에너지는 무시할 만하다. 간혹 일어나는 다른 입자와의 충돌을 제외하면, 입자들은 다른 입자와의 상호 작용 없이 자유로운 운동을 하기 때문이다. 입자 간의 충돌은 물론 입자 사이의 상호작용에 의한 것이지만, 충돌의 세부 사항은 기체 상태에서 그리 중요하지 않다. 입자들의 충돌로 인한 주된 효과는 기체가 평형상태를 이루는 것인데, 우리는 이미 평형 상태를 가정하고 있기 때문이다.
그러나 고체계의 경우 입자들은 강력한 퍼텐셜에너지에 의해 속박되어 있다. 입자들은 결정 내의 고정된 위치에 배정되며, 제 자리를 중심으로 작은 변위의 운동을 한다. 이때 평형 위치에서 벗어난 변위에 비례해서 복원력을 받는다고 가정하자. 이를 harmonic approximation 이라고 한다. 변위의 3 차항 이상의 고차항이 존재하지만, 이들의 주된 효과는 계가 평형을 이루는데 기여하는 것이므로 무시하기로 한다. 이 또한 우리는 이미 평형 상태를 생각하고 있기 때문이다.
10. 엔트로피(entropy) - Boltzmann 의 미시적 정의
카르노 기관이 원래의 상태로 돌아간다고 할 때, 이는 거시적인 상태를 뜻하는 것일 수 밖에 없다는 점을 앞에서 지적하였다. 이는 즉, 어떤 거시적인 상태(p, V, T)에 대응하는 미시적인 상태가 무수히 많기 때문이다. 볼츠만은 거시적인 상태에 대응하는 미시적 상태의 갯수 Ω 가 엔트로피에 연관될 것으로 생각하였다.
8. 통계역학의 등장
통계학(statistics)은 인간 본성에 큰 저항을 불러일으키는 학문이다. 개성을 존중받고 싶은 열망을 여지없이 무시하는 특성 때문일 것이다. 그럼에도 불구하고, 우리는 어느 순간 우리의 행동이 평균적인 소시민의 판박이 행동 양식에서 전혀 벗어나지 않는다는 사실을 깨닫곤 한다.
6A. 준정적 과정과 등온 팽창, 단열 팽창, 자유 팽창
앞에서 준정적 과정이란 피스톤의 운동이 충분히 느려서 기체계가 항상 평형상태에 존재한다고 취급할 수 있는 과정을 가리킨다고 하였다. 여기서 우리가 일상적으로 많이 사용하지만, 과학적으로는 그 의미를 좀 더 분명히 해두어야 하는 귀절이 "충분히 느려서"라는 부분이다.
6. 준정적 과정(quasi-static process)과 카르노 기관
기체의 부피 V는 기체계의 성질이 아니라 기체계에 부과된 외부 구속 조건이다. 이를 현실로 구현하는 장치가 실린더와 피스톤이다. 이 때, 기체계의 압력 p 는 이상기체방정식으로부터 온도 T 와 부피 V 의 함수로 결정된다.
5. 열역학 제1법칙
인류는 노동으로부터의 해방을 꿈꾸어 왔다. 1 세기 무렵, 알렉산드리아의 헤론은 증기를 발생시켜 회전운동을 일으키는 장치를 발명하였다. 이 세계 최초의 증기 기관은 마침내 17 세기 초에 이르러 실용화에 성공하여 광산에서 물을 퍼내는 펌프로 사용된다.
4. 기체의 운동학적 모델
3. 열량(heat)
앞에서 언급한 바와 같이 신체의 열 감각은 온도 뿐만 아니라 열량과도 연계되어 있다. 온도를 정확하게 측정할 수 있게 되어 비로소 열량(heat)의 개념이 명확해졌다. 온도와 열량의 차이를 처음으로 발견한 사람은 블랙(Joseph Black 1728-1799)이었다.
2. 이상기체법칙(Ideal Gas Law)
보일은 피스턴과 추를 도입하여 기체의 압력을 측정하고, 일정한 온도 하에서 압력과 부피는 반비례함을 보였다. 기체 압력과 부피 사이의 관계는 이미 Towneley 와 Power 에 의해 제기된 상태였으며, 보일이 실험적으로 이를 증명하였다(1662년).
1. 온도(temperature)
불(fire)과의 만남은 초창기 인류에게 매우 두려운 경험이었을 것이다. 50 만 ~ 100 만년 전 무렵, 인류는 마침내 두려움을 극복하고 불을 제어하기 시작한다.
피드 구독하기:
글 (Atom)